Вариант 1. Задание 1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) OB; б) AC : BD; в) S_AOC : S_BOD.

Рассмотрим треугольники AOC и BOD. Углы A и B равны по условию, а углы AOC и BOD — вертикальные. Следовательно, треугольники подобны по двум углам: △AOC ∼ △BOD.

Соответствие вершин: A ↔ B, O ↔ O, C ↔ D. Поэтому \(\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{CO}{DO}=\dfrac{AC}{BD}\).

а) \(\dfrac{5}{OB}=\dfrac{4}{6}\), откуда \(OB=\dfrac{5\cdot6}{4}=7.5\).

б) \(\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\), поэтому \(AC:BD=2:3\).

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\dfrac{S_{AOC}}{S_{BOD}}=\left(\dfrac{4}{6}\right)^2=\dfrac{4}{9}\). Следовательно, \(S_{AOC}:S_{BOD}=4:9\).

Ответ: а) 7,5; б) 2:3; в) 4:9.