Вариант 1. Задание 4*. В трапеции ABCD (AD и BC — основания) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

В трапеции \(AD\parallel BC\), поэтому треугольники AOD и BOC подобны: вертикальные углы при O равны, а углы при основаниях равны как накрест лежащие.

Коэффициент подобия треугольника BOC к треугольнику AOD равен \(\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{4}{12}=\dfrac13\). Площади относятся как квадраты коэффициента подобия:

\(\dfrac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\left(\dfrac13\right)^2=\dfrac19\).

\(S_{BOC}=45\cdot\dfrac19=5\text{ см}^2\).

Ответ: 5 см².