Вариант 2. Задание 1. Дано: PE ∥ NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) MK; б) PE : NK; в) S_MPE : S_MNK.

Рассмотрим треугольники MPE и MNK. Так как \(PE\parallel NK\), углы M общие, а соответствующие углы при P и N, E и K равны. Следовательно, \(\triangle MPE\sim\triangle MNK\).

Коэффициент подобия малого треугольника к большому: \(\dfrac{MP}{MN}=\dfrac{8}{12}=\dfrac23\).

а) Соответствующие стороны \(ME\) и \(MK\): \(\dfrac{ME}{MK}=\dfrac23\). Поэтому \(MK=6\cdot\dfrac32=9\).

б) \(\dfrac{PE}{NK}=\dfrac23\), значит \(PE:NK=2:3\).

в) Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: \(\dfrac{S_{MPE}}{S_{MNK}}=\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac49\). Значит, \(S_{MPE}:S_{MNK}=4:9\).

Ответ: а) 9; б) 2:3; в) 4:9.