Вариант 12. Исследовать систему на совместность и решить её, если она совместна: \(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0,\\3x_1+2x_2+x_4=0,\\2x_3+x_4=0.\end{cases}\)

Из третьего уравнения \(x_4=-2x_3\). Подставим во второе: \(3x_1+2x_2-2x_3=0\). Первое уравнение даёт \(x_1=-x_2-x_3\). Подстановка в преобразованное второе уравнение приводит к \(-x_2-5x_3=0\), поэтому \(x_2=-5x_3\), а \(x_1=4x_3\).

Полагая \(x_3=t\), где \(t\in\mathbb R\), получаем \(x_1=4t\), \(x_2=-5t\), \(x_4=-2t\). Система совместна и имеет бесконечно много решений.

Ответ: \((x_1,x_2,x_3,x_4)=t(4,-5,1,-2),\ t\in\mathbb R\).