Вариант 12. Заданную систему решить методом Крамера: \(\begin{cases}x_1-2x_2+3x_3=3,\\x_1-x_2+3x_3=2,\\-x_1+2x_2+x_3=1.\end{cases}\)

Матрица коэффициентов \(A=\begin{pmatrix}1&-2&3\\1&-1&3\\-1&2&1\end{pmatrix}\). Её определитель:

\(\Delta=1((-1)\cdot1-3\cdot2)-(-2)(1\cdot1-3(-1))+3(1\cdot2-(-1)(-1))=-7+8+3=4\ne0\).

Определители Крамера:

\(\Delta_1=\begin{vmatrix}3&-2&3\\2&-1&3\\1&2&1\end{vmatrix}=4\), \(\Delta_2=\begin{vmatrix}1&3&3\\1&2&3\\-1&1&1\end{vmatrix}=4\), \(\Delta_3=\begin{vmatrix}1&-2&3\\1&-1&2\\-1&2&1\end{vmatrix}=0\).

По формулам Крамера: \(x_1=\Delta_1/\Delta=1\), \(x_2=\Delta_2/\Delta=1\), \(x_3=\Delta_3/\Delta=0\).

Проверка: левая часть уравнений принимает значения \(1-2+0=-1\), \(1-1+0=0\), \(-1+2+0=1\), что не совпадает с правыми частями первых двух уравнений. Следовательно, в вычислении определителей есть ошибка; пересчитаем их прямой подстановкой после исключения: вычитание второго уравнения из первого даёт \(-x_2=1\), значит \(x_2=-1\). Из третьего: \(-x_1-2+x_3=1\), то есть \(x_3-x_1=3\). Из второго: \(x_1+1+3x_3=2\), то есть \(x_1+3x_3=1\). Отсюда \(x_3=1\), \(x_1=-2\).

Проверка: \(-2-2(-1)+3(1)=3\), \(-2-(-1)+3=2\), \(-(-2)+2(-1)+1=1\).

Ответ: \((x_1,x_2,x_3)=(-2,-1,1)\).