Вариант 12. Найти матрицу, обратную данной, и сделать проверку: \(A=\begin{pmatrix}3&5\\0&3\end{pmatrix}\).

Определитель: \(\det A=3\cdot3-0\cdot5=9\ne0\), поэтому обратная матрица существует.

Для матрицы второго порядка \(A^{-1}=\frac1{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). Следовательно, \(A^{-1}=\frac19\begin{pmatrix}3&-5\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13&-\frac59\\0&\frac13\end{pmatrix}\).

Проверка: \(AA^{-1}=\begin{pmatrix}3&5\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac13&-\frac59\\0&\frac13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-\frac53+\frac53\\0&1\end{pmatrix}=I\).

Ответ: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac13&-\frac59\\0&\frac13\end{pmatrix}\).