Вариант 2. 2. Прямая касается окружности в точке К. Точка О — центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол 40°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой хордой. Следовательно, угол между касательной К и хордой КМ равен 40°, а дуга МК = 2 * 40° = 80°.
• Так как OK — радиус, проведенный в точку касания, то OK перпендикулярен касательной. Угол между радиусом ОК и касательной равен 90°.
• Угол КОМ — центральный угол, опирающийся на дугу МК, поэтому угол КОМ = 80°.
• В треугольнике ОМК, ОК = ОМ (радиусы), значит, треугольник равнобедренный.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны: угол ОМК = угол ОKM.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Угол ОМК = (180° - угол КОМ) / 2 = (180° - 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°.

Ответ: 50