Вариант 2. 5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а один из острых углов равен β. Найдите биссектрису второго угла.

Второй острый угол равен \(90°-\beta\). Катет, прилежащий к углу β, равен \(c\cos\beta\), а другой катет — \(c\sin\beta\). У биссектрисы второго угла длина \(l=\frac{\sqrt{xy((x+y)^2-z^2)}}{x+y}\), где x и y — стороны, заключающие угол, а z — противоположная сторона. Здесь \(x=c\), \(y=c\sin\beta\), \(z=c\cos\beta\).

Подставляя и упрощая, получаем \(l=\frac{c\sqrt{\sin\beta(1+\sin\beta)}}{1+\sin\beta}=c\sqrt{\frac{\sin\beta}{1+\sin\beta}}\).

Ответ: \(c\sqrt{\frac{\sin\beta}{1+\sin\beta}}\).