Вариант 2. 5. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, угол D=60°.

Поскольку \(AB\parallel CD\), соседние углы при стороне AD supplementary: \(\angle A=180°-60°=120°\).

AC — биссектриса угла A, поэтому \(\angle BAC=60°\). При этом \(AC\perp CD\), значит треугольник ACD прямоугольный, а \(\angle ACD=90°\). Тогда \(\angle CAD=180°-90°-60°=30°\).

В треугольнике ACD сторона CD, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы AD: \(AD=2CD\). Угол между AB и AC равен 60°, а угол между AC и CD — 90°, поэтому угол между AB и CD равен 30°. Получаем прямоугольный треугольник ABC с \(\angle A=60°\), \(\angle C=90°\), откуда \(AB=2BC\).

Периметр выражается как \(AB+BC+CD+AD=2BC+BC+CD+2CD=3(BC+CD)=35\). Следовательно, \(BC+CD=35/3\), и \(AB=2BC\) не определяется однозначно из этой суммы: требуется ещё одно независимое соотношение между BC и CD.

Ответ: длину AB по указанным данным однозначно найти нельзя.