Вариант 2, задача 2. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции, если известно, что боковая сторона в два раза меньше большего основания.

1. Обозначим большее основание через \(B\), боковую сторону — через \(l\), а горизонтальную проекцию каждой боковой стороны на большее основание — через \(x\). По условию \(l=B/2\).
2. Пусть диагональ перпендикулярна боковой стороне. Из прямоугольности соответствующего треугольника (или скалярного произведения направляющих векторов) следует \(h^2=x(B-x)\), где \(h\) — высота трапеции.
3. По теореме Пифагора для боковой стороны \(l^2=x^2+h^2=x^2+x(B-x)=xB\). Так как \(l=B/2\), получаем \(B^2/4=xB\), откуда \(x=B/4\).
4. Тогда \(h^2=(B/4)(3B/4)=3B^2/16\). Для острого угла \(\alpha\) при большем основании \(\tan\alpha=h/x=\sqrt3\), следовательно, \(\alpha=60^\circ\).
5. Соседние углы трапеции supplementary, поэтому каждый тупой угол равен \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Ответ: углы трапеции — \(60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ\).