Вариант 3. 3. Докажите тождество \(\left(\frac{2y+1}{y^2+6y+9}-\frac{y-2}{y^2+3y}\right):\frac{y^2+6}{y^3-9y}=\frac{y-3}{y+3}\).

Разложим знаменатели: \(y^2+6y+9=(y+3)^2\), \(y^2+3y=y(y+3)\), \(y^3-9y=y(y-3)(y+3)\).

Сначала приведём разность в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{2y+1}{(y+3)^2}-\frac{y-2}{y(y+3)}=\frac{y(2y+1)-(y-2)(y+3)}{y(y+3)^2}=\frac{y^2+6}{y(y+3)^2}\).

Теперь разделим на вторую дробь, умножив на обратную:

\(\frac{y^2+6}{y(y+3)^2}\cdot\frac{y(y-3)(y+3)}{y^2+6}=\frac{y-3}{y+3}\).

Левая часть равна правой, тождество доказано при допустимых значениях переменной.