Вариант 4. 3. Докажите тождество \(\left(\frac{a}{a^2-2a+1}-\frac{a+4}{a^2-1}\right):\frac{a-2}{a^2-1}=\frac{2}{1-a}\).

Разложим знаменатели: \(a^2-2a+1=(a-1)^2\), \(a^2-1=(a-1)(a+1)\).

Приведём разность в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{a}{(a-1)^2}-\frac{a+4}{(a-1)(a+1)}=\frac{a(a+1)-(a+4)(a-1)}{(a-1)^2(a+1)}=\frac{4-2a}{(a-1)^2(a+1)}\).

Разделим на \(\frac{a-2}{(a-1)(a+1)}\), умножив на обратную дробь:

\(\frac{4-2a}{(a-1)^2(a+1)}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{a-2}=\frac{-2(a-2)}{(a-1)(a-2)}=-\frac{2}{a-1}=\frac{2}{1-a}\).

Левая часть равна правой, тождество доказано при допустимых значениях переменной.