Вариант 3. 5*. Докажите, что угол, дополняющий меньший из двух смежных углов до прямого, равен полуразности смежных углов.

Доказательство:

Пусть даны два смежных угла ∠AOC и ∠COB. Пусть ∠AOC — меньший угол, а ∠COB — больший. Тогда ∠AOC + ∠COB = 180°.

Пусть OK — луч, дополняющий меньший угол ∠AOC до прямого. Это значит, что ∠AOK — прямой угол, то есть ∠AOK = 90°.

Угол, на который дополняется ∠AOC до прямого, это ∠COK. Следовательно, ∠COK = ∠AOK - ∠AOC = 90° - ∠AOC.

Нам нужно доказать, что ∠COK равен полуразности смежных углов, то есть ∠COK = (∠COB - ∠AOC) / 2.

Выразим ∠COB через ∠AOC, используя, что их сумма равна 180°:

∠COB = 180° - ∠AOC.

Теперь подставим это в формулу для полуразности:

(∠COB - ∠AOC) / 2 = ((180° - ∠AOC) - ∠AOC) / 2 = (180° - 2∠AOC) / 2 = 90° - ∠AOC.

Мы получили, что ∠COK = 90° - ∠AOC и (∠COB - ∠AOC) / 2 = 90° - ∠AOC.

Следовательно, ∠COK = (∠COB - ∠AOC) / 2.

Что и требовалось доказать.