Вариант 3. Диаметр шара равен 4. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Радиус шара \(R=4:2=2\). Перпендикулярное расстояние от центра шара до плоскости равно расстоянию от центра до конца диаметра, умноженному на синус угла между диаметром и плоскостью:

\(d=R\sin45^\circ=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\).

Радиус сечения: \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt2\).

Площадь сечения: \(S=\pi r^2=2\pi\).

Ответ: \(2\pi\) кв. ед.