Вариант 3, Задание 4*. Дано: AB = BC, BT = 4 см (рис. 5.94). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка AC? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон AB и BC.

а) **Отрезок AC:** - Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный. - Высота BT является также и медианой, значит, точка T делит AC пополам. - В прямоугольном треугольнике (например, ABT) гипотенуза (AB) всегда больше катета (BT). - Поскольку BT = 4, то AB > 4. Из равнобедренности AB=BC, тогда BC>4. По неравенству треугольника AC < AB+BC. - Если предположить, что треугольник равносторонний, то AC=AB=BC, тогда АС > 8. Однако, треугольник может быть любым равнобедренным, поэтому диапазон больше, чем 8. -Так как AB=BC, AC < AB+BC= 2AB. А также AC>0, значит AC больше 0. - В прямоугольном треугольнике ABT, BT=4, тогда AT = корень(AB^2 - BT^2). А так как AC = 2AT, то AC = 2* корень(AB^2 - 16) > 0 и AC < 2AB. - Поскольку у нас нет точного значения AB, мы не можем найти конкретные целые числа. Если угол ABC стремится к 180, AC стремится к 2AB. - Однако, мы можем сказать, что длина отрезка AC не может быть меньше 0 и не может быть больше, чем сумма AB и BC, т.е. AC < 2*AB. б) **Сумма длин отрезков:** - Пусть M - середина AB, N - середина BC. - Нужно найти сумму длин отрезков TM и TN. - По теореме о средней линии в треугольнике: средняя линия параллельна основанию и равна половине основания. - В треугольнике ABC, отрезок MN является средней линией и равен половине AC. MN = AC/2 - В прямоугольном треугольнике ABT, средняя линия TM равна половине AB. TM = AB/2, а в треугольнике CBT, средняя линия TN = BC/2. - Так как AB = BC, TM = TN = AB/2 = BC/2. - В треугольнике ABT, TM - это медиана, проведенная к гипотенузе AB, значит TM = BT = 4/2= 2. Аналогично, в треугольнике CBT, TN = BT = 4/2=2. - Сумма TM + TN = 2 + 2 = 4 **Ответ:** а) Длина отрезка AC заключена между 0 и 2AB. б) Сумма длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон AB и BC равна 4.