Вариант 4, Задание 4*. Дано: AB = BC, AC = 10 см (рис. 5.96). а) Между какими целыми числами заключена длина высоты ABC? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон AB и BC.

a) **Длина высоты:** - Треугольник ABC - равнобедренный (AB=BC). - Проведем высоту из вершины B к стороне AC. Обозначим эту высоту как BT. Точка T будет серединой AC, так как в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой. Тогда AT = TC= AC/2 = 10/2=5 см. - В прямоугольном треугольнике ABT, AT = 5 см. - Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета. Поэтому AB > AT, то есть AB > 5. - Также, BT < AB. По теореме Пифагора, AB^2 = BT^2 + AT^2, тогда BT^2 = AB^2 - AT^2. - Мы знаем, что AB=BC. Если предположить, что треугольник равносторонний, то AB=BC=AC=10. В этом случае BT^2 = 100 - 25 =75. BT = корень(75) = 5 * корень(3) = 8.66. - Однако, треугольник может быть любым равнобедренным, и BT может быть меньше. Так как высота не может быть меньше 0 и не может быть больше чем AB, высота BT будет больше 0 и меньше AB. б) **Сумма длин отрезков:** - Пусть M - середина AB, N - середина BC. - Нам нужно найти сумму длин отрезков TM и TN. - В треугольнике ABC, отрезок MN является средней линией и параллелен основанию AC. MN = AC/2= 10/2=5 см. - TM - медиана треугольника ABT, TN - медиана треугольника CBT. Так как AB=BC, то эти треугольники равны. - В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Тогда TM = AB/2 = BC/2 = TN. - Также, медиана TM в треугольнике ABT равна половине гипотенузы. ТМ=AT=5. И в треугольнике CBT медиана TN= TC=5. - Сумма TM + TN = 5 + 5 = 10 **Ответ:** а) Длина высоты ABC заключена между 0 и AB. б) Сумма длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон AB и BC, равна 10.