Вариант 4. №1. Дано: BD = 3.1 см, BE = 4.2 см, BA = 9.3 см, BC = 12.6 см. Доказать: DE || AC. Найти: а) DE : AC; б) P_ADE : P_DBE; в) S_DBE : S_ABC.

Точка D лежит на BA, точка E — на BC. Имеем:

\[\frac{BD}{BA}=\frac{3.1}{9.3}=\frac13,\qquad \frac{BE}{BC}=\frac{4.2}{12.6}=\frac13.\]

По обратной теореме Фалеса \(DE\parallel AC\).

Треугольники BDE и BAC подобны с коэффициентом \(1/3\).

а) \(DE:AC=1:3\).

б) Треугольники ADE и DBE имеют общую высоту к прямой AB, а их основания относятся как \(AD:DB=(9.3-3.1):3.1=6.2:3.1=2:1\). Поэтому \(P_{ADE}:P_{DBE}\) не определяется только из приведённых данных без вычисления третьих сторон; однако из подобия \(BDE\sim BAC\text{ получаем }DE=AC/3\text{, а }AD=2DB\text{.}

в) По подобию \(S_{DBE}:S_{ABC}=1:9\).

Ответ: а) \(1:3\); б) \(P_{ADE}:P_{DBE}\) требует вычисления по конкретной форме треугольника и из данных однозначно не определяется; в) \(1:9\).