Вариант 4. №4. В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC = 40 см, AC = 20 см. На стороне BC отмечена точка H так, что BH : HC = 3 : 1. Найти AH.

Из отношения \(BH:HC=3:1\) и \(BC=40\text{ см}\) получаем \(BH=30\text{ см},\ HC=10\text{ см}\).

По теореме Стюарта для cevian AH в треугольнике ABC:

\[AB^2\cdot HC+AC^2\cdot BH=BC\left(AH^2+BH\cdot HC\right).\]

Подставим значения:

\[40^2\cdot10+20^2\cdot30=40(AH^2+30\cdot10),\]

\[16000+12000=40(AH^2+300),\qquad 28000=40AH^2+12000,\]

\[AH^2=400,\qquad AH=20\text{ см}.\]

Ответ: 20 см.