Вариант 4. №2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. На стороне AB взята точка K так, что OK ⟂ AB, AK = 2 см, BK = 8 см. Найти диагонали ромба.

Так как K лежит на AB, \(AB=AK+KB=2+8=10\text{ см}\).

В прямоугольном треугольнике AOK высота OK проведена к гипотенузе AB, поэтому:

\[OK^2=AK\cdot BK=2\cdot8=16,\qquad OK=4\text{ см}.\]

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Пусть \(AC=2AO\text{, }BD=2BO\). Из прямоугольных треугольников AOK и BOK:

\[AO^2=AB^2-BO^2,\qquad OK^2=AK\cdot BK.\]

Используя \(AO:BO=AK:BK=1:4\text{, получаем }AO=2\text{ см, }BO=8\text{ см.}\) Поэтому \(AC=4\text{ см},\text{ }BD=16\text{ см}.\)

Ответ: диагонали ромба равны 4 см и 16 см.