Вариант 4. №3. ABCD — выпуклый четырёхугольник, AB = 6 см, BC = 9 см, CD = 10 см, DA = 25 см, AC = 15 см. Доказать, что ABCD — трапеция.

Рассмотрим треугольники ABC и ACD. По теореме косинусов:

\[\cos\angle BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{36+225-81}{180}=1.\]

Следовательно, в условии имеются противоречивые данные: значение \(\cos\angle BAC=1\) означало бы вырожденный треугольник ABC, поскольку тогда \(BC=AB+AC=21\text{ см, а не }9\text{ см}.\)

Поэтому доказать, что данный выпуклый четырёхугольник является трапецией, невозможно: исходные числовые данные, вероятно, содержат опечатку.

Ответ: условие противоречиво; при указанных длинах выпуклый четырёхугольник не существует.