Вариант 4. 3. Докажите тождество: (a/(a² − 2a + 1) − (a + 4)/(a² − 1)) : ((a − 2)/(a² − 1)) = 2/(1 − a).

Разложим знаменатели: \(a^2-2a+1=(a-1)^2\), \(a^2-1=(a-1)(a+1)\). Приведём разность в скобках к общему знаменателю:

\(\dfrac{a}{(a-1)^2}-\dfrac{a+4}{(a-1)(a+1)}=\dfrac{a(a+1)-(a+4)(a-1)}{(a-1)^2(a+1)}=\dfrac{-2(a-2)}{(a-1)^2(a+1)}\).

Разделим на вторую дробь, умножив на обратную:

\(\dfrac{-2(a-2)}{(a-1)^2(a+1)}\cdot\dfrac{(a-1)(a+1)}{a-2}=-\dfrac{2}{a-1}=\dfrac{2}{1-a}\).

Получили правую часть равенства. Исходные выражения определены при \(a\ne -1,1,2\).

Тождество доказано.