Верхний блок до заголовка «Вариант 4». 3. Докажите тождество: ((2y + 1)/(y² + 6y + 9) − (y − 2)/(y² + 3y)) : ((y² + 6)/(y³ − 9y)) = (y − 3)/(y + 3).

Разложим знаменатели на множители и приведём разность в скобках к общему знаменателю:

\(\dfrac{2y+1}{(y+3)^2}-\dfrac{y-2}{y(y+3)}=\dfrac{y(2y+1)-(y-2)(y+3)}{y(y+3)^2}=\dfrac{y^2+6}{y(y+3)^2}\).

Разложим знаменатель второй дроби:

\(\dfrac{y^2+6}{y^3-9y}=\dfrac{y^2+6}{y(y-3)(y+3)}\).

Теперь разделим дроби, умножив первую на обратную ко второй:

\(\dfrac{y^2+6}{y(y+3)^2}\cdot\dfrac{y(y-3)(y+3)}{y^2+6}=\dfrac{y-3}{y+3}\).

Получили правую часть равенства. Исходные выражения определены при \(y\ne -3,0,3\).

Тождество доказано.