Вариант А2, 4. Дан правильный тетраэдр DABC с ребром a. При симметрии относительно точки D плоскость ABC перешла в плоскость A₁B₁C₁. Найдите расстояние между этими плоскостями.

Высота правильного тетраэдра из D к плоскости ABC равна расстоянию от D до этой плоскости. Если G — центр равностороннего треугольника ABC, то \(AG=\frac{a}{\sqrt3}\), поэтому

\(DG=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2}=\frac{a\sqrt6}{3}\).

Симметрия относительно точки D переводит плоскость ABC в параллельную ей плоскость A₁B₁C₁ по другую сторону от D. Расстояние между плоскостями равно \(2DG=\frac{2a\sqrt6}{3}\).

Ответ: \(\frac{2a\sqrt6}{3}\).