Вариант А1, 4. Дан правильный тетраэдр DABC с ребром a. При симметрии относительно плоскости ABC точка D перешла в точку D₁. Найдите DD₁.

Опустим высоту из D на плоскость ABC; её основание G — центр равностороннего треугольника ABC. Тогда \(AG=\frac{a}{\sqrt3}\), а по теореме Пифагора высота тетраэдра равна

\(DG=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2}=a\sqrt{\frac23}=\frac{a\sqrt6}{3}\).

При отражении относительно плоскости ABC эта плоскость является серединным перпендикуляром к отрезку DD₁. Поэтому \(DD_1=2DG=\frac{2a\sqrt6}{3}\).

Ответ: \(DD_1=\frac{2a\sqrt6}{3}\).