Вариант A1. 5. В треугольнике ABC AB = 4√3, BC = 3, Sₐᵦ꜀ = 3√3. Найти AC.

Площадь через две стороны и угол между ними: \(S=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin B\). Поэтому \(3\sqrt3=6\sqrt3\sin B\), откуда \(\sin B=\frac12\). Возможны \(B=30°\) и \(B=150°\), поэтому задача имеет два решения.

По теореме косинусов \(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B=57-24\sqrt3\cos B\).

При \(B=30°\): \(AC=\sqrt{57-18\sqrt3}\). При \(B=150°\): \(AC=\sqrt{57+18\sqrt3}\).

Ответ: \(\sqrt{57-18\sqrt3}\) или \(\sqrt{57+18\sqrt3}\).