Вариант Б1, 2. Точки A и B лежат в плоскости α, а точки C и D — в плоскости β, причём α ∥ β, AB = CD, а отрезки AC и BD пересекаются. а) Докажите, что AB ∥ CD. б) Один из углов четырёхугольника ABCD равен 65°. Найдите остальные углы.

а) Пересекающиеся отрезки AC и BD лежат в одной плоскости, поэтому точки A, B, C, D — компланарны. Плоскости α и β параллельны, значит, их линии пересечения с плоскостью ABCD параллельны. Эти линии содержат соответственно AB и CD, поэтому AB ∥ CD.

По условию AB = CD. В четырёхугольнике ABCD одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит, ABCD — параллелограмм.

б) В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют 180°. Поэтому углы равны 65°, 115°, 65°, 115° в порядке следования по четырёхугольнику, начиная с данного угла.

Ответ: остальные углы — 115°, 65° и 115°.