Вариант Б1, 3. Докажите, что если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон являются вершинами прямоугольника.

Пусть M, N, P и Q — середины сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD.

В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому MN ∥ AC и MN = AC / 2. Аналогично PQ ∥ AC и PQ = AC / 2.

В треугольниках BCD и DAB по теореме о средней линии NP ∥ BD, NP = BD / 2, а MQ ∥ BD, MQ = BD / 2. Следовательно, MNPQ — параллелограмм.

По условию диагонали AC и BD перпендикулярны. Поскольку MN ∥ AC, а NP ∥ BD, получаем MN ⟂ NP. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.