Вариант Б2, 3. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то середины его сторон являются вершинами ромба.

Пусть M, N, P и Q — середины сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD.

По теореме о средней линии треугольника MN = AC / 2 и PQ = AC / 2, поскольку эти отрезки параллельны диагонали AC. Аналогично NP = BD / 2 и MQ = BD / 2; эти отрезки параллельны диагонали BD.

Отрезки MN и PQ параллельны, как и NP и MQ, поэтому MNPQ — параллелограмм. Так как AC = BD, получаем MN = NP = PQ = QM. Следовательно, параллелограмм MNPQ — ромб.

Что и требовалось доказать.