Вариант Б1. Даны точки A(−2; 0), B(2; 2), C(4; −2), D(0; −4). 4) Докажите, что ABCD — квадрат.

\(\overrightarrow{AB}=(4;2)\), \(\overrightarrow{BC}=(2;-4)\), \(\overrightarrow{CD}=(-4;-2)\), \(\overrightarrow{DA}=(-2;4)\).

Имеем \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\), поэтому ABCD — параллелограмм. Кроме того, \(|AB|=|BC|=\sqrt{20}\), а \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot2+2\cdot(-4)=0\), значит, соседние стороны равны и перпендикулярны. Параллелограмм с равными соседними сторонами и прямым углом является квадратом.

Следовательно, ABCD — квадрат.