Вариант Б2. Даны точки A(0; 4), B(4; 2), C(2; −2), D(−2; 0). 4) Докажите, что ABCD — квадрат.

\(\overrightarrow{AB}=(4;-2)\), \(\overrightarrow{BC}=(-2;-4)\), \(\overrightarrow{CD}=(-4;2)\), \(\overrightarrow{DA}=(2;4)\).

Поскольку \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\), ABCD — параллелограмм. При этом \(|AB|=|BC|=\sqrt{20}\), а \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot(-2)+(-2)\cdot(-4)=0\). Значит, соседние стороны равны и перпендикулярны, поэтому параллелограмм ABCD является квадратом.

Следовательно, ABCD — квадрат.