Вариант I. 12. Какие из выражений log₂ 5⁻³, log₂(-5), log₂(-5)³, log₂(-5)², 2¹⁰ᵍ² ½, log₂ log₂ имеют смысл?

Объяснение: Логарифм определён только для положительных чисел. Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.

Проверим каждое выражение:

• \( \log_{2} 5^{-3} \) — имеет смысл, так как \( 5^{-3} > 0 \).
• \( \log_{2} (-5) \) — не имеет смысла, так как аргумент отрицателен.
• \( \log_{2} (-5)^{3} \) — не имеет смысла, так как \( (-5)^3 = -125 < 0 \).
• \( \log_{2} (-5)^{2} \) — имеет смысл, так как \( (-5)^2 = 25 > 0 \).
• \( 2^{\log_{2} \frac{1}{2}} \) — имеет смысл, так как \( \log_{2} \frac{1}{2} = -1 \), и \( 2^{-1} = \frac{1}{2} > 0 \).
• \( \log_{2} \log_{2} \) — не имеет смысла, так как \( \log_{2} \) — это число, и под второй логарифм подставляется число, а не выражение. Например, если \( \log_{2} x = y \), то \( \log_{2} y \) имеет смысл только если \( y > 0 \).

Ответ: \( \log_{2} 5^{-3}, \log_{2} (-5)^{2}, 2^{\log_{2} \frac{1}{2}} \).