Вариант II. 12. Какие из выражений log₃(-2), log₃(-2)², log₃(-2)³, log₃ 2⁻³, 3log₃ ½, log₃ log₃ имеют смысл?

Объяснение: Логарифм определён только для положительных чисел. Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.

Проверим каждое выражение:

• \( \log_{3} (-2) \) — не имеет смысла, так как аргумент отрицателен.
• \( \log_{3} (-2)^{2} \) — имеет смысл, так как \( (-2)^2 = 4 > 0 \).
• \( \log_{3} (-2)^{3} \) — не имеет смысла, так как \( (-2)^3 = -8 < 0 \).
• \( \log_{3} 2^{-3} \) — имеет смысл, так как \( 2^{-3} = \frac{1}{8} > 0 \).
• \( 3 \log_{3} \frac{1}{2} \) — имеет смысл, так как \( \frac{1}{2} > 0 \).
• \( \log_{3} \log_{3} \) — не имеет смысла, так как \( \log_{3} \) — это число, и под второй логарифм подставляется число, а не выражение. Например, если \( \log_{3} x = y \), то \( \log_{3} y \) имеет смысл только если \( y > 0 \).

Ответ: \( \log_{3} (-2)^{2}, \log_{3} 2^{-3}, 3 \log_{3} \frac{1}{2} \).