Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром О, ∠AOC = 80°, ∠C: ∠A = 3: 4. Найдите градусные меры дуг AB, AC, BC.

Решение:

• ∠AOC = 80°, следовательно, дуга AC = 80°.
• ∠C : ∠A = 3 : 4. Пусть ∠C = 3x, ∠A = 4x.
• ∠B = (1/2) * ∠AOC = (1/2) * 80° = 40° (так как ∠B вписанный и опирается на дугу AC).
• Сумма углов в треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• 4x + 40° + 3x = 180°
• 7x = 140°
• x = 20°
• ∠C = 3 * 20° = 60°
• ∠A = 4 * 20° = 80°
• Дуга AB = 2 * ∠C = 2 * 60° = 120°.
• Дуга BC = 2 * ∠A = 2 * 80° = 160°.

Ответ: дуга AC = 80°, дуга AB = 120°, дуга BC = 160°.