886. За 16 дней двумя экскаваторами можно вырыть 4/9 траншеи для прокладки труб. За сколько дней выполнил бы эту работу каждый экскаватор, если одному понадобится для этого на 30 дней больше, чем другому?

Пусть первый экскаватор выполняет работу за $$x$$ дней, а второй за $$x+30$$ дней. Тогда: 1. Первый экскаватор выкапывает за день $$\frac{1}{x}$$ часть траншеи, а второй - $$\frac{1}{x+30}$$ часть траншеи. 2. Вместе они выкапывают за день $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+30}$$ часть траншеи. 3. За 16 дней они выкопали $$\frac{4}{9}$$ часть траншеи, поэтому $$\frac{16}{x} + \frac{16}{x+30} = \frac{4}{9}$$. Составим уравнение: $$16(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+30}) = \frac{4}{9}$$ Разделим обе части на 4: $$4(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+30}) = \frac{1}{9}$$ $$\frac{4}{x} + \frac{4}{x+30} = \frac{1}{9}$$ $$\frac{4(x+30) + 4x}{x(x+30)} = \frac{1}{9}$$ $$\frac{4x + 120 + 4x}{x^2 + 30x} = \frac{1}{9}$$ $$\frac{8x + 120}{x^2 + 30x} = \frac{1}{9}$$ $$9(8x + 120) = x^2 + 30x$$ $$72x + 1080 = x^2 + 30x$$ $$x^2 - 42x - 1080 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-42)^2 - 4 * 1 * (-1080) = 1764 + 4320 = 6084$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 + \sqrt{6084}}{2} = \frac{42 + 78}{2} = 60$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 - \sqrt{6084}}{2} = \frac{42 - 78}{2} = -18$$ Отрицательное значение не подходит, следовательно, $$x = 60$$. Тогда, первый экскаватор выполняет работу за 60 дней, а второй за $$x+30 = 60+30 = 90$$ дней. Чтобы выполнить всю работу, потребуется увеличить количество дней в $$\frac{9}{4}$$ раза, поэтому первому экскаватору нужно $$60 * \frac{9}{4} = 135$$ дней, а второму $$90 * \frac{9}{4} = 202.5$$ дней. Ответ: Первый экскаватор выполнит всю работу за 135 дней, а второй - за 202.5 дня.