14. За изготовление и установку нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 234 рубля, а за каждое следующее кольцо платили на 18 рублей меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы была выплачена премия 360 рублей. Средняя стоимость изготовления и установки одного кольца с учетом премии оказалась равна 202 рубля. Сколько колец было установлено?

Пошаговое решение:

1. Обозначим количество колец за n.
2. Стоимость первого кольца: 234 рубля.
3. Стоимость каждого следующего кольца уменьшается на 18 рублей.
4. Премия: 360 рублей.
5. Средняя стоимость кольца с учетом премии: 202 рубля.
6. Суммарная стоимость n колец: \( 202n \).
7. Сумма арифметической прогрессии стоимости колец: \( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \), где \( a_1 = 234 \), \( d = -18 \).
8. Общая стоимость всех колец с премией: \( S_n + 360 \).
9. Получаем уравнение: \( \frac{2 \cdot 234 + (n-1)(-18)}{2} \cdot n + 360 = 202n \)
10. Упростим уравнение: \( \frac{468 - 18n + 18}{2} \cdot n + 360 = 202n \) \( \frac{486 - 18n}{2} \cdot n + 360 = 202n \) \( (243 - 9n)n + 360 = 202n \) \( 243n - 9n^2 + 360 = 202n \) \( -9n^2 + 41n + 360 = 0 \) \( 9n^2 - 41n - 360 = 0 \)
11. Решим квадратное уравнение: \( D = (-41)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-360) = 1681 + 12960 = 14641 \), \( \sqrt{D} = 121 \) \( n_1 = \frac{41 + 121}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9 \) \( n_2 = \frac{41 - 121}{18} = \frac{-80}{18} \approx -4.44 \) (не подходит, так как число колец не может быть отрицательным).

Ответ: 9 колец