Задача 6. [1 балл) Сравните \sqrt{4+\sqrt{9}+\sqrt{6}} и 1+\sqrt{3}.

Сравним два числа: $$\sqrt{4+\sqrt{9}+\sqrt{6}}$$ и $$1+\sqrt{3}$$.

Преобразуем первое число: $$\sqrt{4 + 3 + \sqrt{6}} = \sqrt{7 + \sqrt{6}}$$.

Возведем оба числа в квадрат:

$$(\sqrt{7 + \sqrt{6}})^2 = 7 + \sqrt{6} \approx 7 + 2.449 = 9.449$$.

$$(1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 2 \cdot 1.732 = 4 + 3.464 = 7.464$$.

Так как $$\sqrt{7 + \sqrt{6}} > 1 + \sqrt{3}$$, то $$\sqrt{7 + \sqrt{6}} > 1 + \sqrt{3}$$.

Преобразуем:

$$7 + \sqrt{6} ? 4 + 2\sqrt{3}$$ $$3 + \sqrt{6} ? 2\sqrt{3}$$ $$(3 + \sqrt{6})^2 ? (2\sqrt{3})^2$$ $$9 + 6\sqrt{6} + 6 ? 12$$ $$15 + 6\sqrt{6} ? 12$$ $$3 + 6\sqrt{6} ? 0$$.

Так как $$\sqrt{6} > 0$$, то $$3 + 6\sqrt{6} > 0$$. Значит, $$\sqrt{4 + \sqrt{9} + \sqrt{6}} > 1 + \sqrt{3}$$.

Ответ: $$\sqrt{4+\sqrt{9}+\sqrt{6}} > 1+\sqrt{3}$$