Задача 4. [1 балл) Уравнение 4х2+5x-3=0 имеет два корня: х₁ и X2. Вычислите х₁х₂ + x₂x₁².

Дано квадратное уравнение $$4x^2 + 5x - 3 = 0$$. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни этого уравнения. Необходимо вычислить значение выражения $$x_1x_2 + x_2x_1^2$$.

Воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$. Сумма корней равна $$\frac{-b}{a}$$, а произведение корней равно $$\frac{c}{a}$$. В нашем случае:

$$x_1 + x_2 = -\frac{5}{4}$$, $$x_1x_2 = -\frac{3}{4}$$.

Преобразуем выражение:

$$x_1x_2 + x_2x_1^2 = x_1x_2(1 + x_1) = -\frac{3}{4}(1 + x_1)$$.

Выразим $$x_1$$ через сумму корней:

$$x_1 = -\frac{5}{4} - x_2$$.

Подставим в выражение:

$$-\frac{3}{4}(1 - \frac{5}{4} - x_2) = -\frac{3}{4}(-\frac{1}{4} - x_2) = \frac{3}{16} + \frac{3}{4}x_2$$.

Выражение не упростилось. Преобразуем исходное выражение иначе:

$$x_1x_2 + x_2x_1^2 = x_1x_2(1 + x_1)$$.

Выразим $$x_1$$ через сумму корней:

$$x_1 = -\frac{5}{4} - x_2$$.

Подставим в выражение:

$$x_1x_2(1 + x_1) = -\frac{3}{4}(1 - \frac{5}{4} - x_2) = -\frac{3}{4}(-\frac{1}{4} - x_2) = \frac{3}{16} + \frac{3}{4}x_2$$.

Первый способ решения:

Найдем корни квадратного уравнения: $$4x^2 + 5x - 3 = 0$$.

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 25 + 48 = 73$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{73}}{8}$$,

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{73}}{8}$$.

$$x_1x_2 = \frac{(-5 + \sqrt{73})(-5 - \sqrt{73})}{64} = \frac{25 - 73}{64} = \frac{-48}{64} = -\frac{3}{4}$$.

$$x_1x_2 + x_2x_1^2 = x_1x_2(1 + x_1) = -\frac{3}{4} (1 + \frac{-5 + \sqrt{73}}{8}) = -\frac{3}{4} (\frac{8 - 5 + \sqrt{73}}{8}) = -\frac{3}{4} (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = -\frac{9 + 3\sqrt{73}}{32}$$.

Второй способ решения:

$$x_1x_2 + x_1^2x_2 = x_1x_2(x_1 + 1) = x_1x_2(x_1 + x_2 - x_2 + 1) = x_1x_2(x_1 + x_2 + 1) - x_1x_2x_2 = \frac{-3}{4} (\frac{-5}{4} + 1) + \frac{3}{4} x_2 = \frac{-3}{4} (\frac{-1}{4}) + \frac{3}{4} \frac{(-5 - \sqrt{73})}{8} = \frac{3}{16} - \frac{15 + 3\sqrt{73}}{32} = \frac{6 - 15 - 3\sqrt{73}}{32} = \frac{-9 - 3\sqrt{73}}{32} = -\frac{9 + 3\sqrt{73}}{32}$$.

Ответ: $$\frac{-9 - 3\sqrt{73}}{32}$$