Задача 2.5. (7 баллов) Компьютерная игра. Дано выражение вида: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ⊗ 12 В начале игры вместо каждого знака ⊗ на экране появляется случайным образом «плюс» или «минус». За один ход можно одновременно поменять два знака, стоящие рядом с каким-нибудь числом, на противоположные. Требуется, сделав не более 12 ходов, получить пример с ответом, кратным 11. Всегда ли можно этого добиться? Если ответ «да», то опишите способ, если ответ «нет» - объясните почему.

Задача 2.5. Дано выражение 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8 ± 9 ± 10 ± 11 ± 12. За один ход можно поменять два знака, стоящие рядом с числом, на противоположные. Сделать не более 12 ходов, чтобы ответ был кратен 11. Всегда ли это возможно?

Решение:

Рассмотрим сумму $$S = 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8 ± 9 ± 10 ± 11 ± 12$$. Если мы изменим знак перед числом k, то S изменится на 2k, потому что мы сначала вычтем k, а потом прибавим k. Если изменить два знака, стоящие рядом с числом k, то сумма изменится на $$2k + 2(k+1) = 4k + 2$$. Таким образом, изменив чётность суммы.

Так как нам нужно, чтобы сумма была кратна 11, то есть чтобы $$S = 11n$$, то сумма должна быть равна $$11 \cdot 0, 11 \cdot 1, 11 \cdot 2$$ и так далее. То есть сумма должна быть кратна 11. Количество всех возможных сумм: $$ 2^{11} = 2048 $$, то есть у нас 2048 возможных сумм. Сумма чисел от 1 до 12 равна 78. Изменим знаки у 1,2,3,4,5,6, тогда сумма будет -1-2-3-4-5-6+7+8+9+10+11+12 = 53. Изменяя знаки, мы можем получить любую сумму от -78 до 78. Проверим есть ли кратные 11. -77, -66, -55, -44, -33, -22, -11, 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77. То есть 16 вариантов.

Ответ: Да, всегда можно этого добиться.