Задача 1.2. (5 баллов) Новогодняя гирлянда состоит из шаров двух цветов — красных и синих (оба цвета присутствуют). Известно: 1) если между двумя какими-нибудь шарами расположены ровно три шара, то эти два шара одного цвета; 2) если между двумя какими-нибудь шарами расположены ровно шесть шаров, то эти два шара одного цвета. Какое наибольшее количество шаров может быть в такой гирлянде? Приведите пример самой длинной гирлянды, удовлетворяющей условию задачи (цвета обозначьте буквами: К - красный, С — синий).

Задача 1.2. Необходимо определить наибольшее количество шаров в гирлянде, удовлетворяющей заданным условиям.

Решение:

Обозначим красный цвет буквой К, а синий - буквой С. Условия задачи можно интерпретировать следующим образом: шары, отстоящие друг от друга на 4 позиции (3 шара между ними) и на 7 позиций (6 шаров между ними), должны быть одного цвета.

Рассмотрим гирлянду, в которой шары чередуются через три позиции. Построим гирлянду максимальной длины. Пример гирлянды:

К С К К С К К С К К С К

Проверим, выполняется ли условие задачи:

1. Между двумя шарами одного цвета ровно 3 шара: K---K, C---C. Условие выполняется.
2. Между двумя шарами одного цвета ровно 6 шаров: K------K, C------C. Условие выполняется.

В данной гирлянде 12 шаров, что является максимальным количеством, так как после 12 шаров последовательность начинает повторяться.

Ответ: Наибольшее количество шаров в гирлянде - 12. Пример гирлянды: К С К К С К К С К К С К