Задача 6: Если x корень уравнения \(\sqrt[3]{1+\sqrt{x-1}} + \sqrt[3]{1-\sqrt{x-1}} = 2\), то значение выражения \(\frac{x}{x+2}\) равно?

Пусть \(a = \sqrt[3]{1+\sqrt{x-1}}\) и \(b = \sqrt[3]{1-\sqrt{x-1}}). Тогда \(a + b = 2\). Возведем обе части в куб: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = 8\). Найдем \(a^3 = 1+\sqrt{x-1}\) и \(b^3 = 1-\sqrt{x-1}\). Тогда \(a^3 + b^3 = 1+\sqrt{x-1} + 1-\sqrt{x-1} = 2\). Найдем \(ab = \sqrt[3]{(1+\sqrt{x-1})(1-\sqrt{x-1})} = \sqrt[3]{1 - (x-1)} = \sqrt[3]{2-x}\). Подставим в уравнение: \(2 + 3\sqrt[3]{2-x} * 2 = 8\), то есть \(6\sqrt[3]{2-x} = 6\), значит, \(\sqrt[3]{2-x} = 1\). Тогда \(2-x = 1\), откуда \(x = 1\). Тогда \(\frac{x}{x+2} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}\). Ответ: 1) \(\frac{1}{3}\)