Задача 7: Количество целочисленных решений неравенства \(\sqrt{\frac{16x-28-x^2}{23}} \le \frac{16x-28-x^2}{23}\) равно?

Пусть \(t = \frac{16x-28-x^2}{23}\). Тогда неравенство принимает вид \(\sqrt{t} \le t\). Это неравенство выполняется, если \(t \ge 1\) или \(t = 0\). То есть \(\frac{16x-28-x^2}{23} \ge 1\) или \(\frac{16x-28-x^2}{23} = 0\). Также необходимо, чтобы \(t \ge 0\), иначе корень не определен. Рассмотрим случай \(t = 0\). \(\frac{16x-28-x^2}{23} = 0\), значит, \(16x - 28 - x^2 = 0\), то есть \(x^2 - 16x + 28 = 0\). Корни: \(x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4*28}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 112}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{16 \pm 12}{2}\). Тогда \(x = \frac{16+12}{2} = 14\) или \(x = \frac{16-12}{2} = 2\). Рассмотрим случай \(t \ge 1\). \(\frac{16x-28-x^2}{23} \ge 1\), значит, \(16x - 28 - x^2 \ge 23\), то есть \(x^2 - 16x + 51 \le 0\). Корни уравнения \(x^2 - 16x + 51 = 0\) равны \(x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4*51}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 204}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{52}}{2} = 8 \pm \sqrt{13}\). Значит, \(8 - \sqrt{13} \le x \le 8 + \sqrt{13}\). Поскольку \(\sqrt{13} \approx 3.6\), то \(4.4 \le x \le 11.6\). Целые решения: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Также мы нашли корни 2 и 14. Проверим условие \(\frac{16x-28-x^2}{23} \ge 0\). Это верно при \(2 \le x \le 14\). Все наши корни входят в этот промежуток. Итого целые решения: 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14. Количество решений: 9. Ответ: 2) 9