Задача 3: Произведение корней уравнения \((x^2-x+1)(x^2-x-1) = 2\) равно?

Пусть \(t = x^2 - x\). Тогда уравнение принимает вид \((t+1)(t-1) = 2\), то есть \(t^2 - 1 = 2\), откуда \(t^2 = 3\), и \(t = \pm \sqrt{3}\). Возвращаемся к переменной x: 1) \(x^2 - x = \sqrt{3}\), тогда \(x^2 - x - \sqrt{3} = 0\). По теореме Виета, произведение корней равно \(-\sqrt{3}\). 2) \(x^2 - x = -\sqrt{3}\), тогда \(x^2 - x + \sqrt{3} = 0\). По теореме Виета, произведение корней равно \(\sqrt{3}\). Общее произведение корней равно \((-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = -3\). В предложенных ответах нет -3, но есть \(-\sqrt{3}\). Проверим еще раз решение. Уравнение \(x^2 - x - \sqrt{3} = 0\) имеет корни \(x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4\sqrt{3}}}{2}\). Уравнение \(x^2 - x + \sqrt{3} = 0\) имеет корни \(x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4\sqrt{3}}}{2}\). Поскольку дискриминант отрицательный, то корни комплексные. Произведение корней \(x_1 x_2 = -\sqrt{3}\) и \(x_3 x_4 = \sqrt{3}\). Тогда произведение всех корней \(-\sqrt{3} * \sqrt{3} = -3\). Предположим, что в правой части уравнения не 2, а -1. Тогда: \((x^2-x+1)(x^2-x-1) = -1\). Тогда \(t^2 - 1 = -1\) => \(t^2 = 0\) => \(t = 0\). Тогда \(x^2 - x = 0\) => \(x(x-1) = 0\). Корни x = 0 и x = 1. Произведение корней равно 0. Такого ответа нет. Если же мы ищем только вещественные корни, то произведение вещественных корней = \(-\sqrt{3}\). Ответ: 3) \(-\sqrt{3}\)