Задача 5: Все решения неравенства \(x^2 + \sqrt{x^2} < \frac{1}{2}\) заполняют на числовой оси промежуток, длина которого равна

Упростим неравенство: \(x^2 + |x| < \frac{1}{2}\). Рассмотрим два случая: 1) Если \(x \ge 0\), то \(x^2 + x < \frac{1}{2}\), то есть \(x^2 + x - \frac{1}{2} < 0\). Корни уравнения \(x^2 + x - \frac{1}{2} = 0\) равны \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+2}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}\). Значит, \(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\). Но мы рассматриваем случай \(x \ge 0\), значит, \(0 \le x < \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\). 2) Если \(x < 0\), то \(x^2 - x < \frac{1}{2}\), то есть \(x^2 - x - \frac{1}{2} < 0\). Корни уравнения \(x^2 - x - \frac{1}{2} = 0\) равны \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1+2}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}\). Значит, \(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\). Но мы рассматриваем случай \(x < 0\), значит, \(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < x < 0\). Объединяя решения, получаем \(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\). Длина промежутка равна \(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2} - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2} = \sqrt{3} - 1\). Ответ: 4) \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)