Задача 4: Укажите наибольшее целое решение неравенства \(\frac{36}{x^2-4x} < x^2-4x\).

Пусть \(t = x^2 - 4x\). Тогда неравенство имеет вид \(\frac{36}{t} < t\). Умножим обе части на t. Рассмотрим два случая: 1) Если \(t > 0\), то \(36 < t^2\), тогда \(t^2 > 36\), значит, \(t > 6\) или \(t < -6\). Но мы рассматриваем случай \(t > 0\), значит, \(t > 6\). 2) Если \(t < 0\), то \(36 > t^2\), тогда \(t^2 < 36\), значит, \(-6 < t < 6\). Но мы рассматриваем случай \(t < 0\), значит, \(-6 < t < 0\). Итак, \(t > 6\) или \(-6 < t < 0\). Вернемся к переменной x: 1) \(x^2 - 4x > 6\), значит, \(x^2 - 4x - 6 > 0\). Корни уравнения \(x^2 - 4x - 6 = 0\) равны \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16+24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}\). Значит, \(x < 2 - \sqrt{10}\) или \(x > 2 + \sqrt{10}\). Поскольку \(\sqrt{10} \approx 3.16\), то \(x < -1.16\) или \(x > 5.16\). 2) \(-6 < x^2 - 4x < 0\), то есть \(x^2 - 4x > -6\) и \(x^2 - 4x < 0\). \(x^2 - 4x > -6\) равносильно \(x^2 - 4x + 6 > 0\). Дискриминант равен \(16 - 4*6 = -8 < 0\), значит, неравенство выполнено для всех x. \(x^2 - 4x < 0\) равносильно \(x(x-4) < 0\), значит, \(0 < x < 4\). Итак, \(x < 2 - \sqrt{10}\) или \(x > 2 + \sqrt{10}\) или \(0 < x < 4\). Целые решения: \(x \le -2\) или \(x \ge 6\) или \(x = 1, 2, 3\). Наибольшее целое решение, удовлетворяющее неравенству - это 3. Однако, необходимо проверить, что \(x^2 - 4x
eq 0\). То есть \(x
eq 0\) и \(x
eq 4\). Следовательно, наибольшее целое решение не может быть найдено, поскольку при x стремящемся к бесконечности, неравенство сохраняется. Но так как спрашивается именно наибольшее целое решение, то из найденных: \(x \le -2\) или \(x \ge 6\) или \(x = 1, 2, 3\), наибольшее конечное решение x = 3. Неравенство выполняется при x = 6, и для всех больших целых x. Из предложенных вариантов наибольшее целое число - 7. Проверим: \(t = 7^2 - 4*7 = 49 - 28 = 21\). \(\frac{36}{21} < 21\). Да, верно. Ответ: 4) 7