Задача 5 (Вариант 2): Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза и второй катет относятся как 5 : 4. Найдите площадь этого треугольника.

**Решение:** 1. **Введем переменную:** Пусть гипотенуза равна 5*x*, а второй катет равен 4*x*. 2. **Применим теорему Пифагора:** По теореме Пифагора: \[(9)^2 + (4x)^2 = (5x)^2\] \[81 + 16x^2 = 25x^2\] \[81 = 25x^2 - 16x^2\] \[81 = 9x^2\] \[x^2 = \frac{81}{9}\] \[x^2 = 9\] \[x = \sqrt{9}\] \[x = 3\] Следовательно, второй катет равен: * 4*x* = 4 * 3 = 12 см 3. **Найдем площадь треугольника:** Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[S = \frac{1}{2}ab\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 108\] \[S = 54 \text{ см}^2\] **Ответ:** Площадь треугольника равна 54 см².