Задача 2: В ∆ABC AB = 4, BC = 7, AC = 6, а в ∆MNK MK = 8, MN = 12, KN = 14. Найдите углы ∆MNK, если ∠A = 80°, ∠B = 60°.

Решение: 1. Сначала определим, подобны ли треугольники ABC и MNK. Для этого проверим пропорциональность сторон: \(\frac{AB}{MK} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), \(\frac{BC}{MN} = \frac{7}{12}\), \(\frac{AC}{KN} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}\). Так как отношения сторон не равны, треугольники ABC и MNK не подобны. Следовательно, углы треугольника MNK не соответствуют напрямую углам треугольника ABC. 2. Найдем угол C в треугольнике ABC: ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 80° - 60° = 40°. 3. Так как треугольники ABC и MNK не подобны, мы не можем напрямую использовать углы A и B для нахождения углов M, N и K. Необходимо использовать теорему косинусов для нахождения углов треугольника MNK. 4. Применим теорему косинусов для нахождения угла M: \(KN^2 = MK^2 + MN^2 - 2 * MK * MN * cos(M)\), \(14^2 = 8^2 + 12^2 - 2 * 8 * 12 * cos(M)\), \(196 = 64 + 144 - 192 * cos(M)\), \(192 * cos(M) = 12\), \(cos(M) = \frac{12}{192} = \frac{1}{16}\), \(M = arccos(\frac{1}{16}) ≈ 86.4°\). 5. Применим теорему косинусов для нахождения угла N: \(MK^2 = MN^2 + KN^2 - 2 * MN * KN * cos(N)\), \(8^2 = 12^2 + 14^2 - 2 * 12 * 14 * cos(N)\), \(64 = 144 + 196 - 336 * cos(N)\), \(336 * cos(N) = 276\), \(cos(N) = \frac{276}{336} = \frac{23}{28}\), \(N = arccos(\frac{23}{28}) ≈ 34.8°\). 6. Найдем угол K: K = 180° - M - N = 180° - 86.4° - 34.8° = 58.8°. Ответ: ∠M ≈ 86.4°, ∠N ≈ 34.8°, ∠K ≈ 58.8°.