Задача 4. а) Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три, сумма которых делится на три? б) Какое наименьшее количество натуральных чисел надо взять, чтобы среди них обязательно нашлись три числа, сумма которых делится на три?

а) Рассмотрим остатки чисел при делении на 3: 0, 1 и 2.

Если каких-либо трёх чисел имеют одинаковый остаток, то их сумма делится на 3: для остатка 0 сумма имеет остаток 0, для остатка 1 — остаток \(1+1+1=3\), для остатка 2 — остаток \(2+2+2=6\).

Если трёх чисел с одинаковыми остатками нет, то среди семи чисел по принципу Дирихле найдутся числа с остатками 0, 1 и 2. Их сумма также делится на 3.

Следовательно, утверждение верно.

б) Четырёх чисел недостаточно: например, можно взять два числа с остатком 0 и два числа с остатком 1. Ни у каких трёх сумма не делится на 3.

Для пяти чисел рассмотрим остатки. Если какого-либо остатка встречается три раза, нужная тройка найдена. Если каждый остаток встречается не более двух раз, то при пяти числах все три остатка должны присутствовать, а значит, можно выбрать по одному числу каждого типа; их сумма делится на 3.

Ответ: а) да; б) 5 чисел.