Задача 7. В бригаде 7 человек, их суммарный возраст 332 года. Докажите, что из них можно выбрать 3 человека, суммарный возраст которых не менее 142 лет.

Предположим обратное: сумма возраста любых трёх человек меньше 142 лет.

Расположим возраста в порядке убывания: \(a_1\ge a_2\ge a_3\ge\ldots\ge a_7\). Тогда возраст трёх самых старших удовлетворяет условию

\(a_1+a_2+a_3<142\).

Так как \(a_1,a_2,a_3\ge a_3\), имеем \(3a_3<142\), то есть \(a_3<47\). Все остальные четыре человека моложе или равны третьему, поэтому

\[a_1+\ldots+a_7<142+4\cdot47=330.\]

Это противоречит условию: суммарный возраст равен 332 годам.

Ответ: такие три человека обязательно найдутся.