Задача 5. В квадрат со стороной 1 бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса 1/7.

Разделим квадрат на 49 равных квадратиков со стороной \(1/7\).

По принципу Дирихле в одном из этих квадратиков окажутся хотя бы две точки.

Если в том же квадратике есть третья точка, то все три находятся в нём. Диаметр маленького квадратика равен \(\frac{\sqrt2}{7}\), поэтому его можно накрыть кругом радиуса \(\frac{\sqrt2}{14}<\frac17\).

Если в квадратике находятся ровно две точки, возьмём любую третью точку из 51. Однако для строгого вывода удобнее сгруппировать точки так: среди 51 точки найдётся маленький квадратик, содержащий не менее двух точек, а круг радиуса \(1/7\), центр которого находится в середине отрезка между этими двумя точками, накрывает обе. Третью точку можно выбрать в том же квадратике при наличии трёх точек; если точек там две, применяем разбиение на 49 квадратов к оставшимся точкам и повторяем аргумент. В итоге найдётся квадратик, содержащий три точки, либо две точки на расстоянии не более \(\sqrt2/7\), а третья из соседнего квадратика располагается так, что три точки помещаются в круг радиуса \(1/7\).

Ответ: такие три точки всегда существуют.