Задача 8. Докажите, что из любых 52 натуральных чисел можно выбрать два числа так, что либо их сумма, либо их разность делится на 100. Верно ли это утверждение для 51 числа?

Разобьём остатки при делении на 100 на 51 группы:

• остаток 0;
• остаток 50;
• пары остатков \((1,99),(2,98),\ldots,(49,51)\).

Всего групп \(2+49=51\). Среди 52 чисел две попадут в одну группу.

Если у них одинаковые остатки, их разность делится на 100. Если остатки взаимно дополняют друг друга до 100, их сумма делится на 100.

Для 51 числа утверждение неверно. Например, возьмём числа с остатками \(0,1,2,\ldots,50\). Разность любых двух таких чисел меньше 100 и не делится на 100, а сумма любых двух не превышает 99 и также не делится на 100.

Ответ: для 52 чисел — да; для 51 числа — нет.